Question

16．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的焦点F₁、F₂在x轴上，离心率为$\frac{1}{3}$，若弦AB经过焦点F₁，则△ABF₂的周长为12．

Answer 1

分析 由椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的焦点F₁、F₂在x轴上，离心率为$\frac{1}{3}$，知长半轴a=3，利用椭圆的定义知，△ABF₂的周长为4a，从而可得答案．

解答 解：∵椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1的焦点F₁、F₂在x轴上，离心率为$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{\sqrt{{a}^{2}-8}}{a}$=$\frac{1}{3}$
∴a=3，
又过焦点F₁的直线与椭圆交于A，B两点，A，B与椭圆的另一个焦点F₂构成△ABF₂，
则△ABF₂的周长l=|AB|+|AF₂|+|BF₂|=（|AF₁|+|AF₂|）+（|BF₁|+|BF₂|）=2a+2a=4a=12．
故答案为：12

点评 本题考查了椭圆的简单性质，着重考查椭圆定义的应用，属于中档题．