Question

1．如图所示，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D，D₁分别为AC，A₁C₁上的中点．
（1）证明AD₁∥平面BDC₁；
（2）证明BD∥平面AB₁D₁．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ACC₁A₁为平行四边形可得AD₁∥DC₁，故而AD₁∥平面BDC₁；
（2）由平行四边形的性质得出DD₁，AA₁，BB₁平行且相等，故而四边形DBB₁D₁是平行四边形，于是B₁D₁∥BD，从而得出BD∥平面AB₁D₁．

解答 证明：（1）∵AC$\stackrel{∥}{=}$A₁C₁，D，D₁分别是AC，A₁C₁上的中点，
∴AD$\stackrel{∥}{=}$C₁D₁，
∴四边形ADC₁D₁是平行四边形，
∴AD₁∥DC₁，
又AD₁?平面BDC₁，DC₁?平面BDC₁，
∴AD₁∥平面BDC₁．
（2）连结DD₁，
∵四边形ACC₁A₁是平行四边形，D，D₁分别是AC，A₁C₁上的中点，
∴DD₁$\stackrel{∥}{=}A{A}_{1}$，又AA₁$\stackrel{∥}{=}$BB₁，
∴DD₁$\stackrel{∥}{=}$BB₁，
∴四边形DBB₁D₁是平行四边形，
∴B₁D₁∥BD，
又BD?平面AB₁D₁，B₁D₁?平面AB₁D₁．，
∴BD∥平面AB₁D₁．

点评 本题考查了线面平行的判定，寻找平行线是证明此类问题的关键，属于基础题．