Question

6．已知动点P在直线x-y+2$\sqrt{2}$=0上移动，由点P向圆x²+y²=1引切线，则切线段长的最小值为$\sqrt{3}$；若P的横坐标为$\sqrt{2}$，则过点P的在两个坐标轴上的截距相等的直线方程是y=3x或y=-x+4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，得到要使切线段长最小，则圆心O到直线x-y+2$\sqrt{2}$=0的距离最小，由点到直线的距离公式求出O到直线的距离，再由勾股定理求得答案；求出P的坐标，当直线过原点时，直接得到直线方程，当直线不过原点时，设出直线方程的截距式x+y=a，代入点的坐标求得a值得答案．

解答 解：如图，

圆的半径为定值1，要使切线段长最小，则圆心O到直线x-y+2$\sqrt{2}$=0的距离最小，
由点到直线的距离公式求得O到直线的距离d=$\frac{|2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=2$，
∴切线段长的最小值为$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$；
P的横坐标为$\sqrt{2}$，则P的纵坐标为3$\sqrt{2}$，即点P（$\sqrt{2}，3\sqrt{2}$），
当直线过原点时，直线方程为y=3x；
当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a，则a=4$\sqrt{2}$．
此时直线方程为y=-x+4$\sqrt{2}$．
∴过点P的在两个坐标轴上的截距相等的直线方程是y=3x或y=-x+$4\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{3}$；y=3x或y=-x+4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查了直线的截距式方程，是基础题．