Question

18．已知函数f（x）=lnx-x．
（1）求函数g（x）=f（x）-x-2的图象在x=1处的切线方程；
（2）证明：|f（x）|＞$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，可得切线的斜率，求出切点坐标，即可求函数g（x）=f（x）-x-2的图象在x=1处的切线方程；
（2）设$G（x）=\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$，证明G（x）_max＜|f（x）|_min．

解答 （1）解：因为g（x）=lnx-2（x+1）（x＞0），
所以$g'（x）=\frac{1-2x}{x}，g'（1）=-1$，
又因为g（1）=-4，所以切点为（1，-4），
故所求的切线方程为：y+4=-（x-1），即y+x+3=0．
（2）证明：因为$f'（x）=\frac{1-x}{x}$，故f（x）在（0，1）上是增加的，在（1，+∞）上是减少的，
∴f（x）_max=f（1）=ln1-1，|f（x）|_min=1，
设$G（x）=\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$，则$G'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，故G（x）在（0，e）上是增加的，在（e，+∞）上是减少的，
故$G{（x）_{max}}=G（e）=\frac{1}{e}+\frac{1}{2}＜1，G{（x）_{max}}＜{|{f（x）}|_{min}}$，
所以$|{f（x）}|＞\frac{lnx}{x}+\frac{1}{2}$对任意x∈（0，+∞）恒成立．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，正确求导，确定函数的单调性是关键．