Question

8．己知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为BC的中点，求异面直线A₁C、DE所成角的余弦值．

Answer 1

分析 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出异面直线A₁C、DE所成角的余弦值．

解答 解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角系，设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，
则A₁（0，0，2），C（2，2，0），D（0，2，0），E（2，1，0），
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{DE}$=（2，-1，0），
设异面直线A₁C、DE所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{DE}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}|•|\overrightarrow{DE}|}$=$\frac{2}{\sqrt{12}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴异面直线A₁C、DE所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．