Question

14．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC₁=4
（1）求证：AB₁⊥C₁B
（2）求直线C₁B与平面ABB₁A₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）证明AC，CB，CC₁两两垂直，以C为原点建立坐标系，求出$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$的坐标，计算其数量积为0得出AB₁⊥C₁B；
（2）求出平面ABB₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$，则|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{C}_{1}B}$＞|即为所求．

解答 （1）证明：连接B₁C交BC₁于点O．
∵CC₁⊥底面ABC，AC?平面ABC，BC?平面ABC，
∴CC₁⊥AC，CC₁⊥BC，
又AC⊥BC，
∴AC，CB，CC₁两两垂直，
以CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，
CC₁所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
∵AC=3，BC=CC₁=4，
∴A（3，0，0），B（0，4，0），B₁（0，4，4），C₁（0，0，4）．
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-3，4，4），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-4，4），
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}$=-3•0+4•（-4）+4•4=0，
∴AB₁⊥BC₁．
（2）解：∵A₁（3，0，4），A（3，0，0），B（0，4，0），B₁（0，4，4），C₁（0，0，4）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（-3，4，0），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，4），$\overrightarrow{{C}_{1}B}$=（0，4，-4）．
设平面ABB₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{A{A}_{1}}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-3x+4y=0}\\{4z=0}\end{array}\right.$．
令x=4得$\overrightarrow{n}$=（4，3，0）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{C}_{1}B}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}B}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{{C}_{1}B}|}$=$\frac{12}{5•4\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$．
∴直线C₁B与平面ABB₁A₁所成角的正弦值为$\frac{3\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题考查了空间角的计算，空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．