Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{15}}{4}$，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且PF₁F₂的周长是8+2$\sqrt{15}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在斜率为1的直线L与椭圆C交于A，B两点，使得以AB为直径圆过原点，若存在写出直线方程；
（3）设圆T：（x-t）²+y²=$\frac{4}{9}$，过椭圆的上顶点作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，当圆心在x轴上移动且t∈（1，3）时，求EF的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆离心率得到a，c的关系，再由△PF₁F₂的周长，得a，c的另一关系，联立求得a，c的值，代入隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设出直线方程和A，B坐标，表示出圆的方程，求出b的值，从而判断结论；
（3）椭圆的上顶点为M（0，1），设过点M与圆T相切的直线方程为y=kx+1，由圆心到切线距离等于半径得到关于切线斜率的方程，由根与系数关系得到k₁+k₂，k₁k₂，再联立一切线方程和椭圆方程，求得E的坐标，同理求得F坐标，另一两点求斜率公式得到k_EF，然后由函数单调性求得EF的斜率的范围．

解答 解：（1）由e=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，即$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，可知a=4b，c=$\sqrt{15}$b，
∵△PF₁F₂的周长是8+2$\sqrt{15}$，
∴2a+2c=8+2$\sqrt{15}$，
∴a=4，b=1，
所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+y²=1；
（2）设直线方程是：y=x+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{\frac{{x}^{2}}{16}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得：17x²+32x+16（b²-1）=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{32}{17}$，x₁x₂=$\frac{16{（b}^{2}-1）}{17}$，
y₁+y₂=$\frac{2b}{17}$，y₁y₂=$\frac{{b}^{2}-16}{17}$，
∴AB的中点即圆心的坐标是（-$\frac{16b}{17}$，$\frac{b}{17}$），
|AB|=$\frac{2\sqrt{{b}^{2}+34×16}}{17}$，
∴满足条件的圆的方程是：${（x+\frac{16}{17}b）}^{2}$+${（y-\frac{b}{17}）}^{2}$=$\frac{{b}^{2}+34×16}{{17}^{2}}$，
将（0，0）代入解得：b=±$\sqrt{34}$，
故存在直线y=x±$\sqrt{34}$满足题意；
（3）椭圆的上顶点为M（0，1），设过点M与圆T相切的直线方程为y=kx+1，
由直线y=kx+1与T相切可知 $\frac{|kt+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{2}{3}$，
即（9t²-4）k²+18tk+5=0，
∴k₁+k₂=-$\frac{18t}{{9t}^{2}-4}$，k₁k₂=$\frac{5}{{9t}^{2}-4}$，
由 $\left\{\begin{array}{l}{y{=k}_{1}x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{16}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+16k₁²）x²+32k₁x=0．
∴x_E=-$\frac{3{2k}_{1}}{1+1{{6k}_{1}}^{2}}$，同理x_F=-$\frac{3{2k}_{2}}{1+1{{6k}_{2}}^{2}}$，
则k_EF=$\frac{{{y}_{F}-y}_{E}}{{{x}_{E}-x}_{F}}$=$\frac{{{k}_{1}x}_{E}{{-k}_{2}x}_{F}}{{{x}_{E}-x}_{F}}$=$\frac{{{k}_{1}+k}_{2}}{1-1{{6k}_{1}k}_{2}}$=$\frac{6t}{28-{3t}^{2}}$，
当1＜t＜3时，f（t）=$\frac{6t}{28-{3t}^{2}}$为增函数，
故EF的斜率的范围为（$\frac{6}{25}$，18）．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆，直线与椭圆的位置关系，考查了直线与圆相切的条件，训练了利用函数单调性求函数的最值，是综合题．