Question

14．是否存在实数λ，使函数f（x）=x⁴+（2-λ）x²+2-λ在区间（-∞，-2]上是减函数？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 求导数，f′（x）=2x[2x²+（2-λ）]，通过讨论λ≤2时，λ＞2，确定函数的单调区间，从而求出λ的范围即可．

解答 解：f′（x）=4x³+2（2-λ）x；
若λ≤2，令f′（x）=0得，x=0，
f（x）在（-∞，0）递减，
显然符合在区间（-∞，-2]上是减函数；
λ＞2时：令f′（x）=0得，x=0，或±$\sqrt{\frac{λ}{2}-1}$；
∴f（x）在（-∞，-$\sqrt{\frac{λ}{2}-1}$]上是减函数，
∵已知f（x）在（-∞，-2]上是减函数，
∴-2≤-$\sqrt{\frac{λ}{2}-1}$；
解得：2＜λ≤10；
即存在实数λ，使f（x）在（-∞，-2]上是减函数，且λ的范围为：（-∞，10]．

点评 本题考查根据导数符号判断函数单调性及求函数单调区间法方法，是一道中档题．