Question

9．解不等式：ax²+（a+1）x+1＞0．

Answer 1

分析 将原不等式化为（x+1）（ax+1）＞0，再对参数a的取值范围进行讨论，从而求出不等式的解集．

解答 解：当a=0时，解得x＞-1．                             
当a≠0时，ax²+（a+1）x+1＞0等价于（x+1）（ax+1）＞0等价于a（x+1）（x+$\frac{1}{a}$）＞0．
当a＜0时，即为（x+1）（x+$\frac{1}{a}$）＜0，解得-1＜x＜-$\frac{1}{a}$．               
当a＞0时，即为（x+1）（x+$\frac{1}{a}$）＞0
当a=1时，解得x≠-1．                                                
当0＜a＜1时，解得x＜-$\frac{1}{a}$，或x＞-1．
当a＞1时，x＜-1，或x＞-$\frac{1}{a}$．                                      
∴当a＜0时，解集是（-1，-$\frac{1}{a}$）；
当a=0时，解集是（-1，+∞）；
当0＜a≤1时，解集是（-∞，-$\frac{1}{a}$）∪（-1，+∞）
当a＞1时，解集是（-∞，-1）∪（-$\frac{1}{a}$，+∞）．

点评 本题主要考查了不等式的求解，同时考查了分类讨论的数学思想，解题的关键是讨论的标准，属于中档题．