Question

8．已知cos（θ+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），则cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$； sin（2θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$．

Answer 1

分析 根据cos（θ+$\frac{π}{4}$）求出sin（θ+$\frac{π}{4}$）、cos2θ和sin2θ，利用cosθ=cos[（θ+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]和两角差的正弦值，即可求出结果．

解答 解：cos（θ+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1{-cos}^{2}（θ+\frac{π}{4}）}$=$\sqrt{1{-（-\frac{\sqrt{10}}{10}）}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
cos2θ=sin2（θ+$\frac{π}{4}$）=2sin（θ+$\frac{π}{4}$）cos（θ+$\frac{π}{4}$）=2×（-$\frac{\sqrt{10}}{10}$）×$\frac{3\sqrt{10}}{10}$=-$\frac{3}{5}$，
sin2θ=-cos（2θ+$\frac{π}{2}$）=-（2cos²（θ+$\frac{π}{4}$）-1）=-2×${（-\frac{\sqrt{10}}{10}）}^{2}$+1=$\frac{4}{5}$，
∴cosθ=cos[（θ+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=cos（θ+$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+sin（θ+$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$
=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{3\sqrt{10}}{10}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
 sin（2θ-$\frac{π}{3}$）=sin2θcos$\frac{π}{3}$-cos2θsin$\frac{π}{3}$
=$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{2}$-（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$\frac{{4+3\sqrt{3}}}{10}$．

点评 本题考查了两角和与差的三角函数求值问题，也考查了二倍角公式与同角的三角函数关系应用问题，是基础题目．