Question

7．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=3，且（3+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则△ABC面积的最大值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． $\frac{5}{4}$$\sqrt{3}$
• D． $\frac{9}{4}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由已知及正弦定理化简可得b²+c²-a²=bc，利用余弦定理可求cosA，进而可求A=60°，从而利用基本不等式可得9≥bc，根据三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵由a=3且 （3+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
即（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
∴由及正弦定理得：（a+b）（a-b）=（c-b）c，
∴b²+c²-a²=bc，
故$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$，
∴∠A=60°，
∴b²+c²-9=bc，可得：9=b²+c²-bc≥bc，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了三角形面积公式、正、余弦定理、基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．