Question

18．在等差数列{a_n}中，前n项和为S_n，
（Ⅰ）若a₁=2，且a₂²=a₁•a₅，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a₁＞0，且S₁₂＞0，S₁₃＜0，则当n为何值时，S_n最大？请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由a₁=2，且a₂²=a₁•a₅，可得（2+d）²=2（2+4d），解之可得到d的值，利用等差数列的通项公式即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）依题意知，S₁₂=6（a₆+a₇）＞0，S₁₃=13a₇＜0，于是有a₇＜0，a₆＞0，∴d=a₇-a₆＜0，而a₁＞0，从而可得到当n=6时，S₆最大．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，依题意有（2+d）²=2（2+4d），
化简得d²-4d=0，解得d=0或d=4．
当d=0时，a_n=2；
当d=4时，a_n=2+（n-1）•4=4n-2，
从而得数列{a_n}的通项公式为a_n=2或a_n=4n-2．…（6分）
（Ⅱ）∵S₁₂=$\frac{{12（{a_1}+{a_{12}}）}}{2}$=6（a₆+a₇）＞0，S₁₃=$\frac{{13（{a_1}+{a_{13}}）}}{2}$=13a₇＜0，
∴a₇＜0，a₆＞0，∴d=a₇-a₆＜0，而a₁＞0，
∴a₁＞a₂＞a₃＞a₄＞a₅＞a₆＞0＞a₇，（即数列{a_n}是递减数列）
∴当n=6时，S₆最大．…（12分）

点评 本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式的应用与数列的函数特性，考查方程思想与分析、运算能力，属于中档题．