Question

8．若f（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bln（x+2）在（-2，+∞）上是减函数，则b的取值范围为（-∞，-1]．

Answer 1

分析 根据函数在（-2，+∞）上是减函数，对函数f（x）进行求导，判断出f′（x）＜0，进而根据导函数的解析式求得b的范围．

解答 解：由题意可知f′（x）=-x+$\frac{b}{x+2}$≤0在x∈（-2，+∞）上恒成立，
即b≤x（x+2）在x∈（-2，+∞）上恒成立，
∵f（x）=x（x+2）=x²+2x=（x-1）²-1，且x∈（-2，+∞）
∴f（x）≥-1
∴要使b≤x（x+2），需b≤-1
故答案为：（-∞，-1]．

点评 本题主要考查了函数单调性的应用．利用导函数来判断函数的单调性，是常用的方法．