Question

13．已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₁a₁₀₀+a₃a₉₈=8，则log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a₁₀₀=（　　）

• A． 10
• B． 50
• C． 100
• D． 1000

Answer 1

分析 依题意，利用等比数列的性质可得a₁a₁₀₀=a₂a₉₉=a₃a₉₈=…=a₅₀a₅₁=4，再利用对数的运算性质得到log₂a₁+log₂a₁₀₀=log₂a₁a₁₀₀=2，即可求得log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a₁₀₀的值．

解答 解：∵数列{a_n}为各项均为正数的等比数列，且a₁a₁₀₀+a₃a₉₈=8，
∴a₁a₁₀₀=a₂a₉₉=a₃a₉₈=…=a₅₀a₅₁=4，
∴log₂a₁a₁₀₀=log₂4=2，
即log₂a₁+log₂a₁₀₀=log₂a₂+log₂a₉₉=…=log₂a₅₀+log₂a₅₁=2，
∴log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a₁₀₀
=（log₂a₁+log₂a₁₀₀）+（log₂a₂+log₂a₉₉）+…+（log₂a₅₀+log₂a₅₁）=2×50=100．
故选：C．

点评 本题考查数列的求和，突出考查等比数列的性质及对数的运算性质，求得log₂a₁+log₂a₁₀₀=log₂a₂+log₂a₉₉=…=log₂a₅₀+log₂a₅₁=2是关键，属于中档题．