Question

3．已知函数f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
（1）求函数的最小正周期及函数图象的对称中心；
（2）若不等式-2＜f（x）-m＜2在x∈[$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 利用辅助角公式化积．
（1）直接利用周期公式求得周期，再由相位的终边落在x轴上求得函数图象的对称中心；
（2）由x得范围求得f（x）的范围，把-2＜f（x）-m＜2在x∈[$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$]上恒成立转化为f（x）-2＜m＜f（x）+2在x∈[$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$]上恒成立得答案．

解答 解：f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=$2sin（2x-\frac{π}{3}）$．
（1）函数的周期为T=$\frac{2π}{2}=π$．
由2x$-\frac{π}{3}=kπ$，得x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}，k∈Z$，
∴函数的对称中心为（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}，0$），k∈Z；
（2）由-2＜f（x）-m＜2在x∈[$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$]上恒成立，
得f（x）-2＜m＜f（x）+2在x∈[$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$]上恒成立，
∵x∈[$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$]，∴2x$-\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}$]，则f（x）∈[1，2]，
∴0＜m＜3．
∴实数m的取值范围是（0，3）．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了恒成立问题的求解方法，是中档题．