练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    3．已知f（x）=ax3+bx2+cx+d是定义在实数集R上的函数，其图象与x轴交于A，B，C三点，若B点坐标为（2，0），且f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．
    （1）求c的值，写出极值点横坐标的取值范围（不需要证明）；
    （2）在函数f（x）的图象上是否存在一点M（x0，y0），使曲线y=ax3+bx2+cx+d在点M处的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

    分析 （1）利用f（x）在[-1，0]与[0，2]上有相反的单调性．得到f'（0）=0，求解c．然后写出极值点横坐标的取值范围即可．
    （2）求出导数，得到f（x）的极值点，利用（1）的结果，得到${x_2}=-\frac{2b}{3a}∈[{2，4}]$，求出a，b关系，然后利用反证法证明不存在满足条件的M点．

    解答 解：（1）∵f（x）在[-1，0]与[0，2]上有相反的单调性．∴f'（0）=0，∴c=0．
    极值点横坐标的取值范围是x1=0，x2∈[2，4]．
    （2）令f'（x）=3ax2+2bx=0，∴f（x）的极值点为${x_1}=0，{x_2}=-\frac{2b}{3a}$．
    由（1）得${x_2}=-\frac{2b}{3a}∈[{2，4}]$，∴$\frac{b}{a}∈[-6，-3]$．
    假设存在满足条件的点M（x0，y0），令f'（x0）=3b，得$3a{x_0}^2+2b{x_0}-3b=0$，①
    ∴$△=4{b^2}+36ab=4{a^2}\frac{b}{a}（{\frac{b}{a}+9}）＜0$，
    ∴方程①没有实数根，∴不存在满足条件的M点．

    点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及反证法的应用，考查转化思想以及计算能力．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    7．已知数列{an}满足：a4n-3=1，a4n-1=0，a2n=an，n∈N*，则a2016=0；a2025=1．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    8．函数y=$\frac{x-2}{2x-3}$的值域为（　　）
    A．（-∞，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）B．（-∞，1）∪（1，+∞）C．（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（-$\frac{1}{2}$，+∞）D．（$\frac{1}{2}$，+∞）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    11．设M=2a（a-2）+4，N=（a-1）（a-3），则M，N的大小关系为（　　）
    A．M＞NB．M＜NC．M=ND．不能确定

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    18．设数列an是公差d＜0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6=S7，则Sn取最大值时，n=（　　）
    A．5B．6C．5或6D．6或7

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    8．若f（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bln（x+2）在（-2，+∞）上是减函数，则b的取值范围为（-∞，-1]．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    15．数列{an}的通项公式为an=kn2+n满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且an＞an+1对n≥8恒成立，则实数k的取值范围是（　　）
    A．$（-\frac{1}{3}，-\frac{1}{17}）$B．$（-\frac{1}{9}，-\frac{1}{17}）$C．$（-\frac{1}{3}，-\frac{1}{11}）$D．$（-\frac{1}{9}，-\frac{1}{11}）$

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    12．函数y=f（x）的导函数y=f'（x）的图象如图所示，给出下列命题：
    ①-3是函数y=f（x）的极值点；
    ②-1是函数y=f（x）的最小值点；
    ③y=f（x）在区间（-3，1）上单调递增；
    ④y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零．
    以上正确命题的序号是（　　）
    A．①②B．③④C．①③D．②④

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    13．已知函数f（x）=x3+ax2+$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$a（a∈R）．
    （1）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围
    （2）若f'（-1）=0，
    ①求f（x）的单调区间．
    ②证明对任意的x1，x2∈（-1，0），不等式|f（x1）-f（x2）|＜$\frac{5}{16}$恒成立．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案