Question

13．已知函数f（x）=x³+ax²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$a（a∈R）．
（1）若函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，求a的取值范围
（2）若f'（-1）=0，
①求f（x）的单调区间．
②证明对任意的x₁，x₂∈（-1，0），不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜$\frac{5}{16}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）先求函数f（x）=（x²+$\frac{3}{2}$）（x+a）（a∈R）的导函数，函数f（x）的图象上有与x轴平行的切线，即导函数为零时有实数解，再令方程的判别式大于或等于零即可得a的范围；
（2）先由f′（-1）=0求出a值；①令导函数大于零，解不等式可得函数的增区间，令导函数小于零，解不等式可得函数的减区间；
②求函数f（x）在[-1，0]上的最大值和最小值，当这两个值差的绝对值小于$\frac{5}{16}$，即证明了x₁、x₂∈（-1，0）时，不等式|f（x₁）-f（x₂）|＜$\frac{5}{16}$恒成立．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$a，
∴f′（x）=3x²+2ax+$\frac{3}{2}$，
（1）∵函数f（x）的图象有与x轴平行的切线，
∴f′（x）=0有实数解则△=4a²-4×3×$\frac{3}{2}$≥0，
即a²≥$\frac{9}{2}$，
所以a的取值范围是（-∞，-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$]∪[$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，+∞）；
（2）∵f′（-1）=0，∴3-2a+$\frac{3}{2}$=0，a=$\frac{9}{4}$，
∴f′（x）=3x²+$\frac{9}{2}$x+$\frac{3}{2}$=3（x+$\frac{1}{2}$）（x+1），
①由f'（x）＞0得x＜-1或x＞-$\frac{1}{2}$；
由f′（x）＜0得-1＜x＜-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-1），（-$\frac{1}{2}$，+∞）；
单调减区间为（-1，-$\frac{1}{2}$）；
②证明：易知f（x）的最大值为f（-1）=$\frac{25}{8}$，
f（x）的极小值为f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{49}{16}$，又f（0）=$\frac{27}{8}$，
∴f（x）在[-1，0]上的最大值M=$\frac{27}{8}$，
最小值m=$\frac{49}{16}$，
∴对任意x₁，x₂∈（-1，0），
恒有|f（x₁）-f（x₂）|＜M-m=$\frac{27}{8}$-$\frac{49}{16}$=$\frac{5}{16}$．

点评 本题综合考查了导数在研究函数性质中的应用，特别是在研究函数单调性和最值上的应用，解题时要透彻理解导数的几何意义，规范在求单调区间及最值时的解题步骤．