Question

4．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（1-x），0≤x≤1}\\{sinπx，1＜x≤2}\end{array}\right.$，则f（$\frac{41}{6}$）=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，f（$\frac{41}{6}$）=f（-$\frac{7}{6}$）=-$f（\frac{7}{6}）$，在根据在[0，2]上的解析式即可求解．

解答 解：由题意：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，
则有：f（x+4）=f（x）
f（-x）=-f（x）
∴f（$\frac{41}{6}$）=f（-$\frac{7}{6}$）=-$f（\frac{7}{6}）$，
又∵在[0，2]上的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（1-x），0≤x≤1}\\{sinπx，1＜x≤2}\end{array}\right.$，
∵$1＜\frac{7}{6}＜2$
∴$f（\frac{7}{6}）$=sin$\frac{7π}{6}$=$-\frac{1}{2}$
所以：f（$\frac{41}{6}$）=f（-$\frac{7}{6}$）=-$f（\frac{7}{6}）$=$-（-\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{2}$
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了周期性函数的计算和函数值的带值计算能力（注意定义域范围）．属于基础题．