Question

12．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-2a）^x}，x≤1\\{log_a}x+\frac{1}{3}，x＞1\end{array}$，当x₁≠x₂时，$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞0，则a的取值集合是（　　）

• A． ∅
• B． $（0，\frac{1}{3}]$
• C． $[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}]$
• D． $（0，\frac{1}{3}）$

Answer 1

分析 由x₁≠x₂时，$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞0，得到函数为减函数，再根据指数函数和对数的函数的性质，得到关于a的不等式组，解得即可．

解答 解：当x₁≠x₂时，$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞0则函数为减函数，
∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-2a）^x}，x≤1\\{log_a}x+\frac{1}{3}，x＞1\end{array}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜1-2a＜1}\\{0＜a＜1}\\{1-2a≥\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得0＜a≤$\frac{1}{3}$，
故选：B

点评 本题考查了函数的单调性和分段函数的性质，属于中档题．