Question

已知函数f（x）=

1

2x+1

+m，m∈R．
（1）若m=-

1

2

，求证：函数f（x）是R上的奇函数；
（2）若函数f（x）在区间（1，2）上没有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）定义域为R关于原点对称．因为
f（x）+f（-x）=

1

2x+1

-

1

2

+

1

2-x+1

-

1

2

=

1

2x+1

-

1

2

+

2x

2x+1

-

1

2

=0，
所以函数f（x）是定义在R上的奇函数．
（2）f'（x）=-

2xln2

(1+2x)2

＜0，
∴f（x）是实数集R上的单调递减函数（不说明单调性扣2分）
又函数f（x）的图象不间断，在区间（1，2）恰有一个零点，有f（1）f（2）＜0
即（m+

1

3

）（m+

1

5

）＜0解之得-

1

3

＜m＜-

1

5

，故函数
f（x）在区间（1，2）没有零点时，实数m的取值范围是m≥-

1

5

或m≤-

1

3

…（14分）