Question

14．在奥运知识有奖问答比赛中，甲、乙、丙同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答正确的概率是$\frac{3}{4}$，甲、丙两人都回答错误的概率是$\frac{1}{12}$，乙、丙两人都回答正确的概率是$\frac{1}{4}$．
（1）求乙、丙两人各自回答对这道题目的概率．
（2）求回答对这道题目的人数的随机变量ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）设乙、丙各自回答对的概率分别是p₁，p₂，由已知条件利用对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法概率公式能求出乙、丙两人各自回答对这道题目的概率．
（2）由已知得ξ可能取值0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）设乙、丙各自回答对的概率分别是p₁，p₂，
根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{（1-\frac{3}{4}）•（1-{p}_{2}）=\frac{1}{12}}\\{{p}_{1}•{p}_{2}=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解得${p}_{1}=\frac{3}{8}$，p₂=$\frac{2}{3}$．…（5分）
（2）由已知得ξ可能取值0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{1}{4}×\frac{5}{8}×\frac{1}{3}=\frac{5}{96}$，
P（ ξ=1）=$\frac{3×5×1+1×3×1+1×5×2}{96}$=$\frac{28}{96}$=$\frac{7}{24}$，
P（ξ=2）=$\frac{3×3×1+3×5×2+1×3×2}{96}$=$\frac{45}{96}$=$\frac{15}{32}$，
P（ξ=3）=$\frac{3×3×2}{96}$=$\frac{18}{96}$=$\frac{3}{16}$．…（8分）
∴ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{5}{96}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{15}{32}$	$\frac{3}{16}$

…（10分）
期望为Eξ=$\frac{5}{96}×0+\frac{7}{24}×1+\frac{15}{32}×2+\frac{3}{16}×3$=$\frac{43}{24}$．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法概率公式的灵活运用．