Question

【题目】已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．
（1）求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b=4①式 …（1分）

f'（x）=3ax2+2bx，则f'（1）=3a+2b

由条件 ②式

由①②式解得a=1，b=3

（2）解：f（x）=x3+3x2，f'（x）=3x2+6x，

令f'（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，

∵函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增

∴[m，m+1]（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝）

∴m≥0或m+1≤﹣2

∴m≥0或m≤﹣3

【解析】（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为﹣1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值．（2）求出 f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知[m，m+1]（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝），列出端点的大小，求出m的范围．
【考点精析】通过灵活运用导数的几何意义，掌握通过图像,我们可以看出当点趋近于时，直线与曲线相切．容易知道，割线的斜率是，当点趋近于时，函数在处的导数就是切线PT的斜率k，即即可以解答此题．