Question

（本小题满分12分）设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m,n，恒有f（m+n）=f（m）f（n），且当x>0时，0<f（x）<1。
（1）求证：f（0）=1，且当x<0时，有f（x）>1；
（2）判断f（x）在R上的单调性；
⑶设集合A＝{（x,y）|f（x²）f（y²）>f（1）}，集合B＝{（x,y）|f（ax－y+2）=1,a∈R}，若A∩B＝，求a的取值范围。

Answer 1

解：⑴f（m+n）=f（m）f（n），令m=1,n=0，则f（1）=f（1）f（0），且由x>0时，0<f（x）<1，∴f（0）=1；设m=x<0，n=－x>0，∴f（0）=f（x）f（－x），∴f（x）＝>1。……………4分
⑵设x₁<x₂，则x₂－x₁>0，∴0<f（x₂－x₁）<1，∴f（x₂）－f（x₁）＝f[（x₂－x₁）+x₁]－f（x₁）＝f（x₂－x₁）f（x₁）－f（x₁）＝f（x₁）[f（x₂－x₁）－1]<0，∴f（x）在R上单调递减。……………8分
⑶∵f（x²）f（y²）>f（1），∴f（x²+y²）>f（1），由f（x）单调性知x²+y²<1，又f（ax－y+2）=1=f（0），
∴ax－y+2=0，又A∩B＝，∴，∴a²+1≤4，从而。……12分

略