Question

已知向量

m

=（sinx，

3

sinx），

n

=（sinx，-cosx），设函数f（x）=

m

•

n

，
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式及它的值域；   
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若f（A）+

1

2

+sin（2A-

π

6

）=

3

2

，b+c=7，△ABC的面积为2

3

，求边a的长．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（I）利用数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出．
（II）利用两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式、余弦定理即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得：f(x)=sin2x-

3

sinxcosx=

1-cos2x

2

-

3

2

sin2x=

1

2

-sin(2x+

π

6

)，
∴函数f（x）的值域为[-

1

2

，

3

2

]．
（Ⅱ）由f（A）+

1

2

+sin(2A-

π

6

)=

3

2

可得：
1-sin(2A+

π

6

)+sin(2A-

π

6

)=

3

2

，化简得：cos2A=-

1

2

，
又因为0＜A＜

π

2

，解得：A=

π

3

，
由题意知：S△ABC=

1

2

bcsinA=2

3

，解得bc=8，
又b+c=7，
∴a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc（1+cosA）=49-2×8×(1+

1

2

)=25．
故所求边a的长为5．

点评：本题考查了数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性、三角形的面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．