【题目】设等差数列的首项为0,公差为a,
;等差数列
的首项为0,公差为b,
.由数列
和
构造数表M,与数表
;
记数表M中位于第i行第j列的元素为,其中
,(i,j=1,2,3,…).
记数表中位于第i行第j列的元素为
,其中
(
,
,
).如:
,
.
(1)设,
,请计算
,
,
;
(2)设,
,试求
,
的表达式(用i,j表示),并证明:对于整数t,若t不属于数表M,则t属于数表
;
(3)设,
,对于整数t,t不属于数表M,求t的最大值.
【答案】(1)(2)详见解析(3)29
【解析】
(1)将,
代入,可求出
,
,可代入求
,
,可求结果.
(2)可求,
,通过反证法证明,
(3)可推出,
,
的最大值,就是集合
中元素的最大值,求出.
(1)由题意知等差数列的通项公式为:
;
等差数列的通项公式为:
,
得,
则,
,
得,
故.
(2)证明:已知.
,由题意知等差数列
的通项公式为:
;
等差数列的通项公式为:
,
得,
,
.
得,
,
,
.
所以若,则存在
,
,使
,
若,则存在
,
,
,使
,
因此,对于正整数,考虑集合
,
,
,
即,
,
,
,
,
,
.
下面证明:集合中至少有一元素是7的倍数.
反证法:假设集合中任何一个元素,都不是7的倍数,则集合
中每一元素关于7的余数可以为1,2,3,4,5,6,
又因为集合中共有7个元素,所以集合
中至少存在两个元素关于7的余数相同,
不妨设为,
,其中
,
,
.则这两个元素的差为7的倍数,即
,
所以,与
矛盾,所以假设不成立,即原命题成立.
即集合中至少有一元素是7的倍数,不妨设该元素为
,
,
,
则存在,使
,
,
,即
,
,
,
由已证可知,若,则存在
,
,使
,而
,所以
为负整数,
设,则
,且
,
,
,
,
所以,当,
时,对于整数
,若
,则
成立.
(3)下面用反证法证明:若对于整数,
,则
,假设命题不成立,即
,且
.
则对于整数,存在
,
,
,
,
,使
成立,
整理,得,
又因为,
,
所以且
是7的倍数,
因为,
,所以
,所以矛盾,即假设不成立.
所以对于整数,若
,则
,
又由第二问,对于整数,则
,
所以的最大值,就是集合
中元素的最大值,
又因为,
,
,
,
所以.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数f(x)=ax2–a–lnx,g(x)=,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)证明:当x>1时,g(x)>0;
(Ⅲ)确定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在正方体ABCD中,以D为原点建立空间直角坐标系,E为B
的中点,F为
的中点,则下列向量中,能作为平面AEF的法向量的是( )
A. (1,-2,4) B. (-4,1,-2)
C. (2,-2,1) D. (1,2,-2)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设不等式mx2-2x-m+1<0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范围.
【答案】
【解析】
令f(m)=m(x2﹣1)﹣2x+1,由条件f(m)<0对满足|m|≤2的一切m的值都成立,利用一次函数的单调性可得:f(﹣2)<0,f(2)<0.解出即可.
令f(m)=m(x2﹣1)﹣2x+1,由条件f(m)<0对满足|m|≤2的一切m的值都成立,
则需要f(﹣2)<0,f(2)<0.
解不等式组,解得
,
∴x的取值范围是.
【点睛】
本题考查了一次函数的单调性、一元二次不等式的解法,考查了转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】某厂有一批长为18m的条形钢板,可以割成1.8m和1.5m长的零件.它们的加工费分别为每个1元和0.6元.售价分别为20元和15元,总加工费要求不超过8元.问如何下料能获得最大利润.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校从高三年级期末考试的学生中抽出60名学生,其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示:
(1)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分;
(2)按分层抽样从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选取6人,再从这6人中选取两人作为代表参加交流活动,求他们在不同分数段的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(1)3个不同的球放入5个不同的盒子,每个盒子至多放1个球,共有多少种放法?
(2)3个不同的球放入5个不同的盒子,每个盒子放球量不限,共有多少种放法?
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