Question

19．（1）在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$，n∈N^*．猜想这个数列的通项公式．
（2）已知正项数列{a_n}的前n项和S_n，满足S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$）（n∈N^*），求出a₁，a₂，a₃，并推测a_n的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据递推公式计算，根据前4项的规律猜想；
（2）根据递推式计算，根据前3项的规律猜想．

解答 解：（1）a₁=1，
a₂=$\frac{2{a}_{1}}{2+{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，
a₃=$\frac{2{a}_{2}}{2+{a}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
a₄=$\frac{2{a}_{3}}{2+{a}_{3}}=\frac{2}{5}$，
…
猜想：a_n=$\frac{2}{n+1}$．
（2）n=1时，a₁=$\frac{1}{2}$（a₁+$\frac{1}{{a}_{1}}$），解得a₁=1．
n=2时，1+a₂=$\frac{1}{2}$（a₂+$\frac{1}{{a}_{2}}$），解得a₂=$\sqrt{2}-1$．
n=3时，1+$\sqrt{2}-1$+a₃=$\frac{1}{2}$（a₃+$\frac{1}{{a}_{3}}$），解得a₃=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$．
猜想：a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．

点评 本题考查了归纳推理，属于基础题．