Question

16．已知抛物线C：y=-x²+4x-3．
（1）求抛物线C在点A（0，-3）和点B（3，0）处的切线的交点坐标；
（2）求抛物线C与它在点A和点B处的切线所围成的图形的面积．

Answer 1

分析 （1）先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合点A（0，-3）和点B（3，0）都在抛物线上，即可求出切线的方程，可得结论；
（2）可得直线与抛物线的交点的坐标和两切线与x轴交点的坐标，根据定积分在求面积中的应用公式即可求得所围成的面积S即可．

解答 解：（1）因为y=-x²+4x-3，所以y′=-2x+4，
所以x=0时，y′=4；x=3时，y′=-2；
所以抛物线C在点A（0，-3）的切线方程为y=4x-3，在点B（3，0）处的切线的方程为y=-2x+6，
所以交点坐标为（1.5，3）；
（2）S=S_△ABM-${∫}_{0}^{3}[（-{x}^{2}+4x-3）-（x-3）]dx$=$\frac{27}{4}$-$\frac{9}{2}$=$\frac{9}{4}$，
即抛物线C与它在点A和点B处的切线所围成的图形的面积为$\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、定积分在求面积中的应用等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．