Question

2．已知等差数列{a_n}前n项和为S_n，且${S_n}={n^2}+c$（n∈N^*）．
（Ⅰ） 求c，a_n；
（Ⅱ） 若${b_n}=\frac{a_n}{2^n}$，求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用数列递推关系、等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵${S_n}={n^2}+c$，
∴a₁=S₁=1+c，a₂=S₂-S₁=（4+c）-（1+c）=3，a₃=S₃-S₂=5…（2分）
又∵{a_n}等差数列，∴6+c=6，c=0；    …（3分）
d=3-1=2；a₁=S₁=1+c=1，…（4分）
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1…（5分）
（2）${b_n}=\frac{2n-1}{2^n}$…（6分）
${T_n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+…+\frac{2n-3}{{{2^{n-1}}}}+\frac{2n-1}{2^n}$…①…（7分）
$\frac{1}{2}{T_n}=\begin{array}{l}{\;}&{\frac{1}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{5}{2^4}+…+\frac{2n-3}{2^n}+\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}}\end{array}$…②…（8分）
①-②得  $\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+2（\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+…+\frac{1}{2^n}）-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$…（9分）
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+2×\frac{{\frac{1}{2^2}[1-{{（\frac{1}{2}）}^{n-1}}]}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{2n-1}{{{2^{n+1}}}}$…（10分）
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{{{2^{n+1}}}}$…1（1分）
${T_n}=3-\frac{2n+3}{2^n}$…（12分）

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．