Question

【题目】已知函数f（x）=|x|（x﹣a），a为实数．
（1）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在[0，2]为增函数，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数a（a＜0），使得f（x）在闭区间 上的最大值为2，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为奇函数f（x）定义域为R，

所以f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R恒成立，

即|﹣x|（﹣x﹣a）=﹣|x|（x﹣a），即|x|（﹣x﹣a+x﹣a）=0，

即2a|x|=0对任意x∈R恒成立，

所以a=0

（2）解：因为x∈[0，2]，所以f（x）=x（x﹣a），

显然二次函数的对称轴为 ，由于函数f（x）在[0，2]上单调递增，

所以 ，

即a≤0（若分a＜0，a=0，a＞0三种情况讨论他可）

（3）解：∵a＜0， ，

∴f（﹣1）=﹣1﹣a≤2，∴﹣a≤3（先用特殊值约束范围）

∴ ，f（x）在（0，+∞）上递增，

∴f（x）必在区间[﹣1，0]上取最大值2．

当 ，即a＜﹣2时，则f（﹣1）=2，a=﹣3，成立

当 ，即0＞a≥﹣2时， ，则 （舍）

综上，a=﹣3

【解析】（1）利用函数是奇函数定义，列出关系式，即可求出a的值；（2）推出二次函数的性质，列出不等式求解即可．（3）化简函数为分段函数，通过讨论a的范围，列出关系式求解即可．
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义和奇偶性与单调性的综合的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性才能正确解答此题．