Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是AB=2，BC=

2

的矩形，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，求侧棱PB与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：取AB中点O，以O为原点，OB为x轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出侧棱PB与平面PCD所成角的正弦值．

解答： 解：取AB中点O，以O为原点，OB为x轴，OP为z轴，
建立空间直角坐标系，
由已知得B（1，0，0），P（0，0，

3

），
C（1，

2

，0），D（-1，

2

，0），

PC

=（1，

2

，-

3

），

PD

=（-1，

2

，-

3

），
设平面PCD的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • PC =x+ 2 y- 3 z=0 n • PD =-x+ 2 y- 3 z=0

，
取y=

3

，得

n

=（0，

3

，

2

），

PB

=（1，0，-

3

），
设侧棱PB与平面PCD所成角的为θ，
sinθ=|cos＜

PB

，

n

＞|=|

- 6

5 ×2

|=

30

10

．
∴侧棱PB与平面PCD所成角的正弦值为

30

10

．

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．