Question

对于任意实数x，y，总有f（x-y）=f（x）-f（y），求证：
（1）f（0）=0；
（2）f（3）=3f（1）；
（3）f（

1

2

）=

1

2

f（1）．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令x=y=0，代入即可得到关于f（0）的方程，可求解；
（2）由f（x-y）=f（x）-f（y）且x=（x-y）+y可得规律f（m+n）=f（m）+f（n），然后采用赋值法可证结论；
（3）利用（2）中的规律结合赋值法令x=y=

1

2

代入可求证．

解答： 解：由已知令x-y=m，y=n，x=m+n，代入f（x-y）=f（x）-f（y）得f（m+n）=f（m）+f（n），
（1）令m=n=0得f（0）=2f（0），所以f（0）=0；
（2）令m=n=1得f（2）=2f（1），再令m=2，n=1代入f（m+n）=f（m）+f（n）得f（3）=f（2）+f（1）=2f（1）+f（1）=3f（1）；
（3）令m=n=

1

2

代入f（m+n）=f（m）+f（n）得f（1）=2f（

1

2

），所以f（

1

2

）=

1

2

f（1）．

点评：此类抽象函数问题主要是采用赋值法，关键是理解透所给式子的规律，要充分理解式子中x、y的任意性．