Question

7．已知抛物线y²=4x与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，点B是点F关于坐标原点的对称点，且以AB为直径的圆过点F，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． 8$\sqrt{2}$-8
• D． 2$\sqrt{2}$-2

Answer 1

分析 由题意可知：B点坐标（-1，0），AF⊥BF，则|AF|=2，A（1，2），代入椭圆方程，即可求得a的值，求得椭圆的离心率．

解答 解：由题意可知：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）焦点坐标为（1，0），（-1，0），c=1，
由点B是点F关于坐标原点的对称点，则B（-1，0），
以AB为直径的圆过点F，
则AF⊥BF，
设A点在第一象限，
∴|AF|=2，
∴A（1，2），
∵点A在双曲线上，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}-\frac{4}{{b}^{2}}=1$，
∵c=1，b²=c²-a²，
∴a=$\sqrt{2}$-1，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$+1，
故选B．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率，考查计算能力，属于中档题．