Question

（本小题10分）. 如图，设椭圆 （a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），A为椭圆的上顶点，椭圆上的点到右焦点的最短距离为-1．过F作椭圆的弦PQ，直线AP，AQ分别交直线于点M，N．

（Ⅰ） 求椭圆的方程；

（Ⅱ） 求当三角形AMN面积最小时直线PQ的方程．

Answer 1

（1）．（2）

【解析】

试题分析:首先利用题目所给的和求出得到椭圆方程，第二步先设出过焦点的直线的方程，与椭圆方程联立方程组，消去后得到关于的元二次方程，设，，根据根与系数关系得出，再利用两点式写出直线的方程与直线联立，求出，求出的表达式，最后借助换元法求最小值，由于点到直线的距离为定值，三角形AMN面积最小只需最小，最后再求出直线PQ的方程．

试题解析：（Ⅰ） 由题意知，，所以椭圆方程为 ．

（Ⅱ） 设，，直线，由,消去，得

，所以

设点的坐标分别为 ,．

因为直线AP的方程为，由．

同理可得

所以

记，则，

当＝－，即时，取最小值．

所以，当取最小值时的方程为，

考点：1.椭圆的标准方程，2.设而不求，联立方程组解题；3.弦长公式；4.求最值；