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某校设计了一个实验学科的实验考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题的便可提前通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成,2题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都是
1
3
,且每题正确完成与否互不影响.求:
(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望;
(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.
(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ、η,
则ξ取值分别为1,2,3;η取值分别为0,1,2,3.…(2分)
P(ξ=1)=
C14
C22
C36
=
1
5
P(ξ=2)=
C24
C12
C36
=
3
5
P(ξ=3)=
C34
C02
C36
=
1
5

∴考生甲正确完成题数的概率分布列为

ξ123
p
1
5
3
5
1
5
…(4分)
Eξ=1×
1
5
+2×
3
5
+3×
1
5
=2

因为P(η=0)=
C03
(1-
2
3
)
3
=
1
27
,同理:P(η=1)=
6
27
,P(η=2)=
12
27
,P(η=3)=
8
27

∴考生乙正确完成题数的概率分布列为:
η0123
p
1
27
6
27
12
27
8
27
…(8分)
Eη=0×
1
27
+1×
6
27
+2×
12
27
+3×
8
27
=2
.…(9分)
(2)∵Dξ=(2-1)2×
1
5
+(2-2)2×
3
5
+(2-3)2×
1
5
=
2
5
,…(10分)
Dη=(2-0)2×
1
27
+(2-1)2×
6
27
+(2-2)2×
12
27
+(2-3)2×
8
27
=
2
3
.…(11分)
(或Dη=npq=3×
2
3
×
1
3
=
2
3
).∴Dξ<Dη.
P(ξ≥2)=
3
5
+
1
5
=0.8
P(η≥2)=
12
27
+
8
27
≈0.74

∴P(ξ≥2)>P(η≥2).
从做对题数的数学期望考察,两人水平相当;从做对题数的方差考察,甲较稳定;从至少完成2题的概率考察,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较强.…(12分)
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1
2
1
3
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1
4

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1
3
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