Question

设函数f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）+2cos²x．
（1）求f（x）的对称轴方程；
（2）设函数g（x）对任意x∈?，都有g（x）=g（x+

π

2

），且当x∈[0，

π

2

]时，g（x）=f（x）-1，求g（x）在区间[-π，0]上的解析式．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，进而根据三角函数图象与性质求得函数的对称轴返程．
（2）先求得g（x）的表达式，进而对x进行分类讨论，分别求得g（x）的解析式．

解答： 解：证明：（1）∵f(x)=

2

(sin2xcos

π

4

-cos2xsin

π

4

)+1+cos2x=1+sin2x，
∴由2x=kπ+

π

2

，(k∈z)得f（x）的对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

4

，(k∈z)
（2）当时x∈[0，

π

2

]时，g（x）=f（x）-1=1+sin2x-1=sin2x，故
①当x∈[-

π

2

，0]时，x+

π

2

∈[0，

π

2

]…（7分）∵对任意x∈?，都有g(x)=g(x+

π

2

)∴g(x)=g(x+

π

2

)=sin[2(x+

π

2

)]=sin(2x+π)=-sin2x，
②当x∈[-π，-

π

2

]时，x+π∈[0，

π

2

]，从而…（11分）g（x）=g（x+π）=sin[2（x+π）]=sin（2x+2π）=sin2x，
综合①②得：g（x）在区间[-π，0]上的解析式为g(x)=

sin2x，x∈[-π，- π 2 ] -sin2x，x∈[- π 2 ，0]

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生分析和推理的能力．