Question

已知函数f（x）=ln（x+1）+ax²-x，a∈R．
（Ⅰ）当a=

1

4

时，求函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）是否存在实数b∈（1，2），使得当x∈（-1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b）？若存在，求实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）将a=

1

4

代入到f（x）的表达式中并求导，计算其单调区间从而确定其极值．
（Ⅱ）f′（x）=

x(2ax-(1-2a))

x+1

，注意到分子中x前的系数为2a，则分成a≤0和a＞0两种情况讨论．其中，当a＞0时，f′(x)=

2ax(x-( 1 2a -1))

x+1

，（x＞-1）再分成

1

2a

-1＞0和

1

2a

-1＜0两种情况分别讨论计算．

解答： 解：（Ⅰ）当a=

1

4

时，f（x）=ln(x+1)+

1

4

x2-x，
则f′(x)=

1

x+1

+

1

2

x-1，化简得f′(x)=

x(x-1)

2(x+1)

，（x＞-1）
∴函数在（-1，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，且f（0）=0，f（1）=ln2-

3

4

，
∴函数y=f（x）在x=1处取到极小值为ln2-

3

4

，在x=0处取到极大值为0．
（Ⅱ）由题意f′（x）=

x(2ax-(1-2a))

x+1

，
（1）当a≤0时，函数f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
此时，不存在实数b∈（1，2）使得当x∈（-1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b）；
（2）当a＞0时，令f′（x）=0，有x=0或x=

1

2a

-1，
①当a=

1

2

时，函数f（x）在（-1，+∞）上单调递增，显然符合题意；
②当

1

2a

-1＞0即0＜a＜

1

2

时，函数f（x）在（-1，0）和（

1

2a

-1，+∞）上单调递增，在（0，

1

2a

-1）上单调递减，
此时由题，只需f（1）＞0，解得a＞1-ln2，又1-ln2＜

1

2

，
∴此时实数a的取值范围是1-ln2＜a＜

1

2

③当

1

2a

-1＜0即a＞

1

2

时，函数f（x）在（-1，

1

2a

-1）和（0，+∞）上单调递增，在（

1

2a

-1，0）上单调递减，
要存在实数b∈（1，2），使得当x∈（-1，b]时，函数f（x）的最大值为f（b），
则f（

1

2a

-1）＜f（1），代入化简得ln2a+

1

4a

+ln2-1＞0   （*）
令g(a)=ln2a+

1

4a

+ln2-1(a＞

1

2

)，因g′(a)=

1

a

(1-

1

4a

)＞0恒成立，
故恒有g(a)＞g(

1

2

)=ln2-

1

2

＞0，∴a＞

1

2

时，（*）式恒成立．
综上，实数a的取值范围是（1-ln2，+∞）．

点评：本题主要运用了分类讨论的方法，由条件逐层分析，逐步确定分类条件，一步一步讨论，直至将问题解决，在用分类讨论的方法解决问题时，要记住做到“不重不漏”．