Question

如图，设有双曲线

x2

4

-

y2

9

=1，F₁，F₂是其两个焦点，点M在双曲线上．
（1）若∠F₁MF₂=90°，求△F₁MF₂的面积．
（2）若∠F₁MF₂=60°，△F₁MF₂的面积是多少？若∠F₁MF₂=120°，△F₁MF₂的面积又是多少？
（3）观察以上计算结果，你能看出随∠F₁MF₂的变化，△F₁MF₂的面积将怎样变化吗？试证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由双曲线方程知a=2，b=3，c=

13

，设|MF₁|=r₁，|MF₂|=r₂（r₁＞r₂）．由双曲线定义，有r₁-r₂=2a=4，由此能求出△F₁MF₂的面积．
（2）若∠F₁MF₂=60°，在△MF₁F₂中，由余弦定理及双曲线定义求得r₁r₂=36．由此求出S△F1MF2=9

3

．同理可求得若∠F₁MF₂=120°，S△F1MF2=3

3

．
（3）由以上结果猜想，随着∠F₁MF₂的增大，△F₁MF₂的面积将减小．由双曲线定义及余弦定理能证明当θ增大时，S△F1MF2=

b2

tan θ 2

将减小．

解答： 解：（1）由双曲线方程

x2

4

-

y2

9

=1，知a=2，b=3，c=

13

，
设|MF₁|=r₁，|MF₂|=r₂（r₁＞r₂）．
由双曲线定义，有r₁-r₂=2a=4，
两边平方得r12+r22-2r₁•r₂=16，
∴|F₁F₂|²-4S△F1MF2=16，
∴52-16=4S△F1MF2，解得S△F1MF2=9．
∴△F₁MF₂的面积是9．（4分）
（2）若∠F₁MF₂=60°，在△MF₁F₂中，
由余弦定理得|F₁F₂|²=r12+r22-2r₁r₂cos 60°，
|F₁F₂|²=（r₁-r₂）²+r₁r₂，所以r₁r₂=36．
∴S△F1MF2=

1

2

r₁r₂sin60°=9

3

．
同理可求得若∠F₁MF₂=120°，S△F1MF2=3

3

．．（8分）
（3）由以上结果猜想，随着∠F₁MF₂的增大，△F₁MF₂的面积将减小．
证明如下：
令∠F₁MF₂=θ，则S△F1MF2=

1

2

r₁r₂sinθ．
由双曲线定义及余弦定理，
有

(r1-r2)2=4a2① r12+r22-2r1•r2cosθ=4c2②

②-①得r₁•r₂=

4c2-4a2

2(1-cosθ)

，
∴S△F1MF2=

(c2-a2)sinθ

1-cosθ

=

b2

tan θ 2

，
∵0＜θ＜π，0＜

θ

2

＜

π

2

，
在（0，

π

2

）内，tan

θ

2

是增函数．
因此当θ增大时，S△F1MF2=

b2

tan θ 2

将减小．（12分）

点评：本题考查三角形面积的求法，考查随着角的变化三角形面积变化的判断与证明，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．