Question

已知圆A过点P（

2

，

2

），且与圆B：（x+2）²+（y-2）²=r²（r＞0）关于直线x-y+2=0对称．
（1）求圆A和圆B方程；   
（2）求两圆的公共弦长；
（3）过平面上一点Q（x₀，y₀）向圆A和圆B各引一条切线，切点分别为C、D，设

QD

QC

=2，求证：平面上存在一定点M使得Q到M的距离为定值，并求出该定值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）设出圆心坐标，利用圆与圆B：（x+2）²+（y-2）²=r²（r＞0）关于直线x-y+2=0对称，求出圆心坐标，再代入P的坐标，即可得出圆A的方程；
（2）求出两圆的公共弦方程，可得（0，0）到两圆的公共弦的距离，即可求出两圆的公共弦长；
（3）利用

QD

QC

=2，确定Q（x₀，y₀）的轨迹方程，结合距离公式可得结论．

解答： （1）解：设圆A的圆心A（a，b），由题意得：

b-2 a+2 •1=-1 a-2 2 - b+2 2 +2=0

解得

a=0 b=0

，
设圆A的方程为x²+y²=r²，将点P（

2

，

2

）代入得r=2，
∴圆A的方程为：x²+y²=4，圆B的方程为：（x+2）²+（y-2）²=4；
（2）解：由圆A和圆B方程，可得两圆的公共弦方程为x-y+2=0，
（0，0）到两圆的公共弦的距离为

2

2

=

2

，
∴两圆的公共弦长为2

4-2

=2

2

；
（3）证明：由题设得QD=2QC，即

QB2-4

=2

QA2-4

，
∴（x₀+2）²+（y₀-2）²-4=4（x₀²+y₀²-4），
∴（x₀-

2

3

）²+（y₀+

2

3

）²=

68

9

，
∴存在定点M（

2

3

，-

2

3

）使得Q到M的距离为定值

2 17

3

．

点评：本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查学分析解决问题的能力，属于中档题．