Question

设a＞0，a≠1，函数y=a^{lg（x2-2x+3）}有最大值，求函数f（x）=log_a（3-2x-x²）的单调区间．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得0＜a＜1，令u=3-2x-x²，x∈（-3，1），则y=log_au，通过求函数u的单调区间，从而求得函数f（x）的单调区间．

解答： 解：设t=lg（x²-2x+3）=lg[（x-1）²+2]，当x=1时，t有最小值lg2．
又因为函数y=a^{lg（x2-2x+3）}有最大值，所以，0＜a＜1．
由3-2x-x²＞0，求得f（x）=log_a（3-2x-x²）的定义域为{x|-3＜x＜1}，
令u=3-2x-x²，x∈（-3，1），则y=log_au．
因为y=log_au在定义域内是减函数，当x∈（-3，-1]时，u=-（x+1）²+4是增函数，
所以f（x）在（-3，-1]上是减函数．同理，f（x）在[-1，1）上是增函数．
故f（x）的单调减区间为（-3，-1]，单调增区间为[-1，1）．

点评：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．