Question

设函数f_n（x）=xⁿ（1-x）³在[

1

4

，1]上的最大值为a_n（n=1，2，3…）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：对任何正整数n（n≥2），都有a_n≤

1

(n+3)2

成立；
（Ⅲ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：对任意正整数n，都有S_n≤

91

256

成立．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）f_n′（x）=x^n-1（1-x）²[n-（n+3）x]，由

f

′ n

(x)=0，知x=1或x=

n

n+3

，由导数性质知f_n（x）在x=

n

n+3

处取得最大值，由此能求出an=

27nn

(n+3)n+3

，n∈N^*．
（Ⅱ）当n≥2时，欲证

27nn

(n+3)n+3

≤

1

(n+3)2

，只需证明（n+3）（1+

3

n

）ⁿ≥27即可．
（Ⅲ）当n=1时，结论成立，当n≥2时，由（II）的结论利用放缩法能证明对任意正整数n，都有S_n≤

91

256

成立．

解答： （本小题满分13分）
（Ⅰ）解：∵f_n（x）=xⁿ（1-x）³，
∴f′n(x)=nxn-1(1-x)3-3xn(1-x)2=xn-1(1-x)2[n(1-x)-3x]
=x^n-1（1-x）²[n-（n+3）x]，
当x∈[

1

4

，1]时，由

f

′ n

(x)=0，知x=1或x=

n

n+3

，
当n=1时，则

n

n+3

=

1

4

，
x∈[

1

4

，1]时，

f

′ n

(x)＜0，fn(x)=xn(1-x)3在[

1

4

，1]上单调递减，
∴a1=f1(

1

4

)=

1

4

×(1-

1

4

)3=

33

44

当n≥2时，

n

n+3

∈(

1

4

，1)，x∈[

1

4

，

n

n+3

)时，

f

′ n

(x)＞0，x∈(

n

n+3

，1)时，

f

′ n

(x)＜0，
∴f_n（x）在x=

n

n+3

处取得最大值，
即an=(

n

n+3

)n(

3

n+3

)3=

27nn

(n+3)n+3

，
∴综上所述，an=

27nn

(n+3)n+3

，n∈N^*．
（Ⅱ）当n≥2时，欲证

27nn

(n+3)n+3

≤

1

(n+3)2

，
只需证明（n+3）（1+

3

n

）ⁿ≥27，
∵(1+

3

n

)n=

C

0 n

+

C

1 n

(

3

n

)+

C

2 n

(

3

n

)2+…+

C

n n

(

3

n

)n
≥1+3+

n(n+1)

2

•

9

n2

=4+

9

2

(1-

1

n

)
≥4+

9

2

(1-

1

2

)=

25

4

．
∴（n+3）（1+

3

n

）ⁿ≥5×

25

4

＞27．
∴当n≥2时，都有an≤

1

(n+3)2

成立．
（Ⅲ）当n=1时，结论成立，
当n≥2时，由（II）知Sn=

27

256

+a2+a3+a4+…+an＜

27

256

+

1

52

+

1

62

+…+

1

(n+3)2

＜

27

256

+(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)+…+(

1

n+2

-

1

n+3

)＜

27

256

+

1

4

=

91

256

．
所以，对任意正整数n，都有Sn＜

91

256

成立．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数的性质和放缩法的合理运用．