Question

6．学校生态园计划移栽甲乙两种植物各2株，设甲、乙两种植物的成活率分别是$\frac{2}{3}$和$\frac{1}{2}$，且各株植物是否成活互不影响，求移栽的4株植物中：
（1）恰成活一株的概率；
（2）成活的株数的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）甲两株中活一株符合独立重复试验，概率为${C}_{2}^{1}$$\frac{2}{3}$$\frac{1}{3}$，同理可算乙两株中活一株的概率，两值相加即可；
（2）确定ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，求出相应的概率，即可求出成活的株数ξ的分布列与期望．

解答 解：设A_k表示甲种植物成活k株，k=0，1，2，B_l表示甲种植物成活l株，l=0，1，2，
则A_k与B_l相互独立，$P（{A_k}）=C_2^k{（\frac{2}{3}）^k}{（\frac{1}{3}）^{2-k}}$，$P（{B_l}）=C_2^l{（\frac{1}{2}）^l}{（\frac{1}{2}）^{2-l}}$，
（1）设甲成活的概率是p（A₁），乙成活的概率为$p（{B_l}）=C_2^l{（\frac{1}{2}）^l}{（\frac{1}{2}）^{2-l}}$，$P=P（{A_0}）P（{B_1}）+P（{A_1}）P（{B_0}）=\frac{1}{9}×\frac{1}{2}+\frac{4}{9}×\frac{1}{4}=\frac{1}{6}$；
（2）设成活的株数为ξ，则ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4.$P（ξ=0）=\frac{1}{36}$$P（ξ=1）=\frac{1}{6}$$P（ξ=2）=\frac{13}{36}$$P（ξ=3）=\frac{1}{3}$$P（ξ=4）=\frac{1}{9}$，

ξ	0	1	2	3	4
$p（{B_l}）=C_2^l{（\frac{1}{2}）^l}{（\frac{1}{2}）^{2-l}}$	$\frac{1}{36}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{13}{36}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$

综上的分布列为Eξ=$0×\frac{1}{36}+1×\frac{1}{6}+2×\frac{13}{36}+3×\frac{1}{3}+4×\frac{1}{9}=\frac{7}{3}（株）$．

点评 本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望，其中在求随机变量ξ的分布列时，对随机变量的每一个取值，要注意不重不漏，以便准确的计算出ξ取得各值时的概率，这也是计算分布列及数学期望时最容易产生的错误．