Question

8．已知A，B，C是△ABC的三个内角．
（1）3cos（B-C）-1=6cosBcosC，求cosA的值；
（2）若sin（A+$\frac{π}{6}$）=2cosA，求A．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项，移项合并后再利用两角和与差的余弦函数公式得出cos（B+C）的值，将cosA用三角形的内角和定理及诱导公式变形后，将cos（B+C）的值代入即可求出cosA的值；
（2）利用两角和与差的正弦公式、辅助角公式将已知等式变形，结合A的取值范围来求A的值即可．

解答 解：（1）3cos（B-C）-1=6cosBcosC，
化简得：3（cosBcosC+sinBsinC）-1=6cosBcosC，
变形得：3（cosBcosC-sinBsinC）=-1，
即cos（B+C）=-$\frac{1}{3}$，
则cosA=-cos（B+C）=$\frac{1}{3}$；
（2）sin（A+$\frac{π}{6}$）=2cosA，展开得$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{3}{2}$cosA=0，
即$\sqrt{3}$sin（A-$\frac{π}{3}$）=0．
因为0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$．

点评 此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，诱导公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键，属于中档题．