Question

17．在等腰三角形ABC中，D是腰AC上一点，满足$\overrightarrow{{B}D}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{B}{A}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{B}C}$，且|${\overrightarrow{{B}D}}$|=2，设角∠BAC=α，AB=AC=c，则△ABC面积S的最大值为$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，得出D为AC的中点，△ABD中，求出cosα的值，再计算△ABC面积S的最大值即可．

解答 解：等腰△ABC中，D是腰AC上一点，满足$\overrightarrow{{B}D}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{B}{A}}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{{B}C}$，
∴D为AC的中点，如图所示；
又|${\overrightarrow{{B}D}}$|=2，
cosα=$\frac{{c}^{2}{+（\frac{c}{2}）}^{2}{-2}^{2}}{2×c×\frac{c}{2}}$=$\frac{5}{4}$-$\frac{4}{{c}^{2}}$，
∴△ABC面积S=$\frac{1}{2}$×c²×$\sqrt{1{-（\frac{5}{4}-\frac{4}{{c}^{2}}）}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$×c²×$\sqrt{-\frac{9}{16}+\frac{10}{{c}^{2}}-\frac{16}{{c}^{4}}}$
=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$×$\sqrt{-{9c}^{4}+16{0c}^{2}-256}$，
当c²=$\frac{160}{18}$=$\frac{80}{9}$时，
-9c⁴+160c²-256取得最大值为
$\frac{4×（-9）×（-256）{-160}^{2}}{4×（-9）}$=${（\frac{64}{3}）}^{2}$，
即△ABC面积S的最大值为$\frac{1}{8}$×$\frac{64}{3}$=$\frac{8}{3}$．
故答案为：$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了余弦定理和正弦定理的运用问题，是综合性问题．