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【题目】ab为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与ab都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,若直线ABa成角为60,则ABb成角为

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】分析:由题意知,a、b、AC三条直线两两相互垂直,构建如图所示的边长为1的正方体,|AC|=1,|AB|=,斜边AB以直线AC为旋转轴,则A点保持不变,B点的运动轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,以C坐标原点,以CD为x轴,CB为y轴,CA为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出结果.

详解:由题意知,a、b、AC三条直线两两相互垂直,画出图形如图,

不妨设图中所示正方体边长为1,故|AC|=1,|AB|=

斜边AB以直线AC为旋转轴,则A点保持不变,

B点的运动轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,

以C坐标原点,以CD为x轴,CB为y轴,CA为z轴,建立空间直角坐标系,

则D(1,0,0),A(0,0,1),直线a的方向单位向量=(0,1,0),||=1,

直线b的方向单位向量=(1,0,0),||=1,

设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′(cosθ,sinθ,0),

其中θ为B′C与CD的夹角,θ∈[0,2π),

AB′在运动过程中的向量,=(cosθ,sinθ,﹣1),||=

所成夹角为β∈[0,],

cosβ=

夹角为60°时,即

|sinθ|=

∵cos2θ+sin2θ=1,∴cosβ=|cosθ|=

∵β∈[0,],∴β=,此时AB与b成角为60°.

故答案为:A

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