Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=4，CB=2，AA₁=2，∠ACB=60°，E、F分别是A₁C₁，BC的中点．
（1）证明：平面AEB⊥平面BB₁C₁C；
（2）证明：C₁F∥平面ABE；
（3）设P是BE的中点，求三棱锥P-B₁C₁F的体积．

Answer 1

分析：（1）用勾股定理证明AB⊥BC，由直棱锥的性质可得 AB⊥BB₁ ，证明AB⊥面BB₁C₁C，从而得到ABE⊥面BB₁C₁C．
（2）取AC的中点M，由FM∥面ABE，C₁M∥面ABE，从而面ABE∥面FMC₁，得到C₁F∥面AEB．
（3）在棱AC上取中点G，在BG上取中点O，则PO∥BB₁，过O作OH∥AB交BC与H，则OH为棱锥的高，求出OH 值和
△B₁C₁F的面积，代入体积公式进行运算．

解答：解：（1）证明：在△ABC中，∵AC=2BC=4，∠ACB=60°，∴AB=2

3

，∴AB²+BC²=AC²，
∴AB⊥BC．   由已知AB⊥BB₁，∴AB⊥面BB₁C₁C，又∵AB?面ABE，故ABE⊥面BB₁C₁C．
（2）证明：取AC的中点M，连接C₁M，FM，在△ABC中，FM∥AB，∴直线FM∥面ABE．
在矩形ACC₁A₁中，E、M都是中点，∴C₁M∥AE，∴直线C₁M∥面ABE，
又∵C₁M∩FM=M，∴面ABE∥面FMC₁，故C₁F∥面AEB．
（3）在棱AC上取中点G，连接EG、BG，在BG上取中点O，
连接PO，则PO∥BB₁，∴点P到面BB₁C₁C的距离等于点O到平面BB₁C₁C的距离．
过O作OH∥AB交BC与H，则OH⊥平面BB₁C₁C，在等边△BCG中，可知CO⊥BG，
∴BO=1，在Rt△BOC中，可得 OH=

3

2

，∴VP-B1C1F=

3

3

．

点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求棱锥的体积，作出棱锥的高OH 是解题的难点和关键．