Question

【题目】已知椭圆的中心在坐标原点，离心率等于，该椭圆的一个长轴端点恰好是抛物线的焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线与椭圆的两个交点记为、，其中点在第一象限，点、是椭圆上位于直线两侧的动点.当、运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)

(2)为定值，定值.

【解析】

（1）由题意可求出抛物线的焦点坐标，即为的值，再根据离心率等于，及、、的关系即可求出。

（2）由题意，即直线与直线斜率存在且斜率之和为0，可设的斜率为，表示出直线与直线的方程，分别联立直线方程与椭圆方程，即可用含的式子表示，两点的坐标特征，即可求出直线的斜率。

（1）因为抛物线焦点为，所以，

，∴，

又，所以.

所以椭圆的方程为.

（2）由题意，当时，知与斜率存在且斜率之和为0.

设直线的斜率为，则直线的斜率为，记，，

直线与椭圆的两个交点、，

设的方程为，联立，

消得，

由已知知恒成立，所以，

同理可得.

所以，，

，

所以.

所以的斜率为定值.