试题分析:解:(Ⅰ)
恒成立,
恒成立即
.
方法一:
恒成立,则
而当
时,
则
,
,
在
单调递增,
当
,
,
在
单调递减,
则
,符合题意.
即
恒成立,实数
的取值范围为
;
方法二:
,
(1)当
时,
,
,
,
在
单调递减,
当
,
,
在
单调递增,
则
,不符题意;
(2)当
时,
,
①若
,
,
,
,
单调递减;当
,
,
单调递增,则
,矛盾,不符题意;
②若
,
(Ⅰ)若
,
;
;
,
在
单调递减,
在
单调递增,
在
单调递减,
不符合题意;
(Ⅱ)若
时,
,
,
在
单调递减,
,不符合题意.
(Ⅲ)若
,
,
,
,
,
,
,
,
在
单调递减,在
单调递增,在
单调递减,
,与已知矛盾不符题意.
(Ⅳ)若
,
,
,
,
在
单调递增;
当
,
,
在
单调递减,
则
,符合题意;
综上,得
恒成立,实数
的取值范围为
(Ⅱ) 由(I)知,当
时,有
,
;于是有
,
.
则当
时,有
在上式中,用
代换
,可得
相乘得
点评:解决的关键是借助于导数的符号来判定函数的单调性,以及函数的最值,进而证明不等式,属于基础题。