Question

【题目】如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．

（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴，建立如图的坐标系，则 ，

设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．

则 =（1．x，﹣1）， ，

∴D1E⊥A1D；

（2）解：当E为AB的中点时，E（1，1，0）， ，

设平面ACD1的法向量是 ，

求出 ， ，

由 ，得

∵ =（1，1，﹣1）

由点到平面的距离公式，得 ，

∴点E到面ACD1的距离是 ．

（3）解：设平面D1EC的法向量 =（a，b，c），

∴ =（1，x﹣2，0）， =（0，2，﹣1）， =（0，0，1）．

由 ．

令b=1，

∴c=2，a=2﹣x．∴ =（2﹣x，1，2）．

依题意：cos = = ，

即 = ，

平方得（x﹣2）2= ，

∴ （不合题意，舍去）， ．

∴ 时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为 ．

【解析】（1）建立如图的坐标系，则 ，设E（1，t，0），则 ，通过向量的数量积为0，计算可得D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，E（1，1，0）， ，求出平面ACD1的一个法向量，最后利用点到面的距离公式即可求点E到面ACD1的距离．（3）求出平面的法向量，利用二面角的夹角关系建立方程进行求解即可．