【题目】仙游某家具城生产某种家具每件成本为3万元,每件售价为x万元(x>3),月销量为t件,经验表明,t= +10(x﹣6)2 , 其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5万元时,月销量为11件.
(1)求a的值;
(2)求售价定为多少时,该家具的月利润最大,最大值为多少?
【答案】
(1)解:因为x=5时,y=11,所以 +10=11,a=2.
(2)解:由(1)可知,该商品每日的销售量y= +10(x﹣6)2.
所以该家具的月利润为:
f(x)=(x﹣3)[ +10(x﹣6)2]=2+10(x﹣3)(x﹣6)2,3<x<6.
从而,f′(x)=10[(x﹣6)2+2(x﹣3)(x﹣6)]=30(x﹣4)(x﹣6).
于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x | (3,4) | 4 | (4,6) |
f′(x) | + | 0 | ﹣ |
f(x) | 单调递增 | 极大值42 | 单调递减 |
由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.
所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.
答:当销售价格为4万元时,该家具的月利润最大,最大值等于42万元
【解析】(1)将x,y的值代入方程,求出a的值即可;(2)求出函数表达式,根据函数的单调性,求出函数的极大值和极小值,从而求出函数的最大值,得到答案即可.
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握求函数在
上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数
在
内的极值;(2)将函数
的各极值与端点处的函数值
,
比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
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【题目】已知P是圆x2+y2=36的圆心,R是椭圆 上的一动点,且满足
.
(1)求动点Q的轨迹方程
(2)若直线y=x+1与曲线Q相交于A、B两点,求弦AB的长度.
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【题目】某化工厂生产某种产品,当年产量在150吨至250吨时,每年的生产成本y万元与年产量x吨之间的关系可可近似地表示为y= ﹣30x+4000.
(1)若每年的生产总成本不超过2000万元,求年产量x的取值范围;
(2)求年产量为多少吨时,每吨的平均成本最低,并求每吨的最低成本.
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【题目】我校为进行“阳光运动一小时”活动,计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的矩形AMPN健身场地.如图,点M在AC上,点N在AB上,且P点在斜边BC上.已知∠ACB=60°,|AC|=30米,|AM|=x米,x∈[10,20].设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为 元,再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪,每平方米的造价为
元(k为正常数).
(1)试用x表示S,并求S的取值范围;
(2)求总造价T关于面积S的函数T=f(S);
(3)如何选取|AM|,使总造价T最低(不要求求出最低造价).
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【题目】如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.
(1)证明:D1E⊥A1D;
(2)当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离;
(3)AE等于何值时,二面角D1﹣EC﹣D的大小为 .
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【题目】某加工厂用某原料由车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为( )
A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱
B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱
C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱
D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱
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