【题目】如图,已知长方形ABCD中,AB=2 ,AD=
,M为DC的中点,将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM (Ⅰ)求证:AD⊥BM
(Ⅱ)若点E是线段DB上的一动点,问点E在何位置时,二面角E﹣AM﹣D的余弦值为 .
【答案】证明:(Ⅰ)∵长方形ABCD中,AB=2 ,AD=
,M为DC的中点, ∴AM=BM=2,∴BM⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,BM平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD平面ADM∴AD⊥BM;
(Ⅱ)建立如图所示的直角坐标系,设 ,
则平面AMD的一个法向量 =(0,1,0),
=
+
=(1﹣λ,2λ,1﹣λ),
=(﹣2,0,0),
设平面AME的一个法向量为 =(x,y,z),则
,
取y=1,得x=0,z= ,
则 =(0,1,
),
∵cos< ,
>=
=
,∴求得
,
故E为BD的中点.
【解析】(Ⅰ)根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM(Ⅱ)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法建立二面角的夹角关系,解方程即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识,掌握相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点.
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【题目】已知函数(
).
(1)若曲线在
处的切线与直线
平行,求
的值;
(2)若对于任意且
,都有
恒成立,求
的取值范围.
(3)若对于任意,都有
成立,求整数
的最大值.
(其中为自然对数的底数)
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【题目】将圆的一组等分点分别涂上红色或蓝色,从任意一点开始,按逆时针方向依次记录
个点的颜色,称为该圆的一个“
阶色序”,当且仅当两个“
阶色序”对应位置上的颜色至少有一个不相同时,称为不同的“
阶色序”.若某圆的任意两个“
阶色序”均不相同,则称该圆为“
阶魅力圆”.“4阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为__________.
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【题目】已知数列{an}前n项和Sn满足:2Sn+an=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设 ,数列{bn}的前n项和为Tn , 求证:Tn<2.
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【题目】已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.
(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3},求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,若存在实数n使f(n)≤m﹣f(﹣n)成立,求实数m的取值范围.
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【题目】设F1 , F2为双曲线C: 的左,右焦点,P,Q为双曲线C右支上的两点,若
=2
,且
=0,则该双曲线的离心率是( )
A.
B.2
C.
D.
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【题目】已知关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集为R. (Ⅰ)求m的最大值;
(Ⅱ)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=m,求4a2+9b2+c2的最小值及此时a,b,c的值.
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